Học toán Bài 6 Bất phương trình Logarit – Sách Toán


Bất phương trình lôgarit

Kiến thức cần nhớ

– Tính đơn điệu của các hàm số (y = {log _a}x)

+ Với (0 < a < 1) thì hàm số (y = {log _a}x) nghịch biến.

+ Với (a > 1) thì hàm số (y = {log _a}x) đồng biến.

a) Phương pháp đưa về cùng cơ số

Với (a>1:) (log_a f(x) >log_a g(x))(Leftrightarrow left{begin{matrix} f(x)>g(x)\ g(x)>0 end{matrix}right.)
Với (0log_a g(x))(Leftrightarrow left{begin{matrix} f(x)0 end{matrix}right.)

b) Phương pháp mũ hóa

Xét bất phương trình: (log_a f(x)> b (1)) với (0

  • ​(a>1 (1)Leftrightarrow f(x)>a^b)
  • ​(0

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Các kiểu đặt ẩn phụ:

  • Kiểu 1: Đặt 1 ẩn và đưa về phương trình theo một ẩn mới.
  • Kiểu 2: Đặt 1 ẩn và không làm mất ẩn ban đầu.
    • Xem ẩn ban đầu là tham số
    • Bất phương trình tích
  • Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn

d) Phương pháp hàm số

Các nội dung cần nhớ:

  • Xét hàm số (y = {log _a}x,(0 < a ne 1):)
    • (a>1, y =log_a x) đồng biến trên ((0;+infty )).
    • ​(0
  • Xét hai hàm số (f(x)) và (g(x):)
    • Nếu (f(x)) và (g(x)) là hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D thì (f(x)+g(x)) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập D.
    • Nếu (f(x)) và (g(x)) là hai hàm số đồng biến trên tập D và (f(x).g(x)>0) thì (f(x).g(x)) là hàm số đồng biến trên tập D.
    • Nếu (f(x)) đồng biến trên D, (g(x)) nghịch biến trên D:
      • (f(x)-g(x)) đồng biến trên D.
      • (f(x)-g(x)) nghịch biến trên D.

Dạng 1: Giải bất phương trình logarit.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

– Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, đưa về dạng tích, mũ hóa, dùng hàm số,…để giải bất phương trình.

– Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận tập nghiệm.

Khi giải bất phương trình logarit cần chú ý đến điều kiện của cơ số (a).

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình ({log _2}x ge {log _2}left( {2x – 1} right)) là:

A. (left( { – infty ;1} right])

B. (left( {dfrac{1}{2};1} right])

C. (left( {0;1} right))

D. (left[ {dfrac{1}{2};1} right))

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải bất phương trình logarit với cơ số (a > 1): ({log _a}fleft( x right) ge {log _a}gleft( x right) Leftrightarrow fleft( x right) ge gleft( x right)) .

Cách giải:

Điều kiện xác định: (left{ begin{array}{l}x > 0\2x – 1 > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\x > dfrac{1}{2}end{array} right. Leftrightarrow x > dfrac{1}{2}).

Khi đó, ({log _2}x ge {log _2}left( {2x – 1} right) Leftrightarrow x ge 2x – 1 Leftrightarrow  – x ge  – 1 Leftrightarrow x le 1).

Kết hợp với điều kiện xác định ta được (dfrac{1}{2} < x le 1).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (left( {dfrac{1}{2};1} right]).

Chọn B.

Chú ý khi giải:

Nhiều HS thường quên đặt điều kiện xác định, dẫn tới khi kết luận nghiệm chọn nhầm đáp án A.

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: ({log _{dfrac{1}{4}}}x + {log _{dfrac{1}{2}}}x – 3 le 0) là:

A. (left( { – infty ;dfrac{1}{4}} right])

B. (left( {0; + infty } right))

C. (left[ {dfrac{1}{4}; + infty } right))

D. (left( { – infty ; – 1} right])

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số và biến đổi thành dạng tích rồi giải bất phương trình.

Cách giải:

Điều kiện: (x > 0)

(begin{array}{l}{log _{dfrac{1}{4}}}x + {log _{dfrac{1}{2}}}x – 3 le 0 Leftrightarrow {log _{{{left( {dfrac{1}{2}} right)}^2}}}x + {log _{dfrac{1}{2}}}x – 3 le 0\ Leftrightarrow dfrac{1}{2}{log _{dfrac{1}{2}}}x + {log _{dfrac{1}{2}}}x – 3 le 0 Leftrightarrow dfrac{3}{2}{log _{dfrac{1}{2}}}x le 3 Leftrightarrow {log _{dfrac{1}{2}}}x le 2 Leftrightarrow x ge dfrac{1}{4}end{array})

Kết hợp điều kiện (x > 0) ta được (x ge dfrac{1}{4}).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (left[ {dfrac{1}{4}; + infty } right)).

Chọn C.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.

Phương pháp:

– Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức có nghĩa.

– Bước 2: Biến đổi bất phương trình đã cho, nêu điều kiện để bất phương trình có nghiệm hoặc biện luận theo (m) nghiệm của bất phương trình.

– Bước 3: Giải điều kiện ở trên để tìm và kết luận điều kiện tham số.

Ví dụ: Tìm giá trị lón nhất của (m) để bất phương trình (1 + {log _5}left( {{x^2} + 1} right) ge {log _5}left( {m{x^2} + 4x + m} right)) nghiệm đúng với mọi (x in R).

A. (m = 4)

B. (m = 2)

C. (m = 5)

D. (m = 3)

Phương pháp:

– Đặt điều kiện cho ẩn để các biểu thức xác định.

– Biến đổi bất phương trình về cùng cơ số (5), nêu điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi (x).

– Giải điều kiện trên suy ra (m).

Cách giải:

Điều kiện: (m{x^2} + 4x + m > 0,forall x Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m > 0\Delta ‘ = 4 – {m^2} < 0end{array} right. Leftrightarrow m > 2)

Ta có:

(begin{array}{l}1 + {log _5}left( {{x^2} + 1} right) ge {log _5}left( {m{x^2} + 4x + m} right) Leftrightarrow {log _5}5 + {log _5}left( {{x^2} + 1} right) ge {log _5}left( {m{x^2} + 4x + m} right)\ Leftrightarrow 5{x^2} + 5 ge m{x^2} + 4x + m Leftrightarrow left( {m – 5} right){x^2} + 4x + m – 5 le 0,forall x in R\ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m – 5 < 0\Delta ‘ = 4 – {left( {m – 5} right)^2} le 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}m < 5\ – {m^2} + 10m – 21 le 0end{array} right. Leftrightarrow m le 3end{array})

Kết hợp với điều kiện trên ta được (2 < m le 3).

Do đó giá trị lớn nhất của (m) thỏa mãn là (m = 3).

Chọn D.

Ví dụ Bất phương trình lôgarit

Ví dụ 5:

Giải bất phương trình ({log _{frac{1}{2}}}left( {{x^2} – x – frac{3}{4}} right) le 2 – {log _2}5.)

Lời giải:

({log _{frac{1}{2}}}left( {{x^2} – x – frac{3}{4}} right) le 2 – {log _2}5 Leftrightarrow {log _{frac{1}{2}}}left( {{x^2} – x – frac{3}{4}} right) le {log _{frac{1}{2}}}frac{1}{4} + {log _{frac{1}{2}}}5)

(Leftrightarrow {log _{frac{1}{2}}}left( {{x^2} – x – frac{3}{4}} right) le {log _{frac{1}{2}}}frac{5}{4})

(begin{array}{l} Leftrightarrow {x^2} – x – frac{3}{4} ge frac{5}{4} Leftrightarrow {x^2} – x – 2 ge 0\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x le – 1\ x ge 2 end{array} right. end{array})

Vậy tập nghiệm bất phương trình là (S = left( { – infty ; – 1} right] cup left[ {2; + infty } right)).

Ví dụ 6: 

Giải bất phương trình ({log _2}left( {1 – {{log }_9}x} right) < 1.)

Lời giải: 

Điều kiện: (left{ begin{array}{l} x > 0\ 1 – 2{log _9}x > 0 end{array} right. Leftrightarrow 3 > x > 0)

Khi đó: ({log _2}(1 – 2{log _9}x) < 1 Leftrightarrow 1 – 2{log _9}x < 2 Leftrightarrow {log _9}x > – frac{1}{2} Leftrightarrow x > frac{1}{3})

Kết hợp với điều kiện ta được (S = left( {frac{1}{3};3} right)) là tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 7:

Giải bất phương trình (log _2^2x – 5{log _2}x – 6 le 0.)

Lời giải:

Đặt (t = {log _2}x,) khi đó phương trình trở thành:

(begin{array}{l} {t^2} – 5t – 6 le 0\ Leftrightarrow (t + 1)(t – 6) le 0\ Leftrightarrow – 1 le t le 6 end{array})

Do đó ta có:

(begin{array}{l} – 1 le {log _2}x le 6\ Rightarrow {log _2}frac{1}{2} le {log _2}x le {log _2}64\ Rightarrow frac{1}{2} le x le 64 end{array})

Vậy tập nghiệm bất phương trình là (S = left[ {frac{1}{2};64} right].)

Ví dụ 8:

Giải bất phương trình  (x + {log _3}left( {x + 1} right) > 3.)

Lời giải:

ĐK: (x>1)

Xét hàm số (f(x) = x + {log _3}(x + 1)) trên (left( { – 1; + infty } right).)

Ta có (f'(x) = 1 + frac{1}{{(x + 1)ln 3}} > 0)

(Rightarrow f(x)) đồng biến trên (left( { – 1; + infty } right).)

Mặt khác (f(2) = 3)

Do đó: (f(x) > 3 Rightarrow f(x) > f(2) Rightarrow x > 2)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: (S = left( {2; + infty } right).)

====

xem trắc nghiệm

Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình mũ



Ebook viet nam

Leave a Reply